Динамическая устойчивость упругих систем

472

(ГЛ, XIX

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА

Дифференциальные уравнения колебаний тонкостенного стержня, находящегося под действием периодической нагрузки q (z, t) = 'Aoflo (z) + 'Atqt (z) cos 6t ' и соответственно М (z, t) = 'А 0 М 0 (z) + l.tMt (z) cos 6t, могут быть получены из (19.16) путем добавления сил инер ции. Пренебрегая влиянием инерционных сил, обусловленных вращением сечений балки относитель но главных осей и их депланацией, найдем, что инерционные силы, дей- -г--;:f-1~----.r ствующие на балку, сводятся к рас пределенной поперечной нагрузке ( д'Аu д2ср) -т дt~ + а 11 дt'А и распределенному Фиг. 130. координатой центра изгиба а 11 . Вводя в уравнения (19.16) силы инерции, получим: д4u дЗ (д2и дЗср) EJIIдz4 + дz'А (Мер)+ т дtз + all дt2 =О, д4ср д [ ' д.р] EJw дz4-дz (2~ 11 М +OJd) дz + q (е 11 -а 11 )ср + Здесь коэффициенты зависят от z, вследствие чего не удается добиться полного разделения переменных z и t даже для просте!'tших граничных условнА. В этом отношении рассмот ренная в предыдущем параграфе задача представляет ис ключение: формы собственных колебаний и формы потери статической устойчивости для этой задачи совпадают. 3. Для отыскания решений системы (19.17) воспользуемся вариационным методом, аппроксимируя формы колебаний с помощью подходящей системы фундаментальных функций. Например, в случае балки, шарнирно опертой по концам и загруженной произволhноА периодической нагрузкой, pew~- (19.17) д2u д2и) +Мдzз+т p·дt2+allдt2 = 0· ( " дЗ'!' ( д2и) моменту - т р дt'А + а 11 дf~ • Здесь а 11 -расстояние от центра инерции в каждом сечении до центра изгиба, ко торое, вообще говоря, не совпадает с '2 д'Аср