Динамическая устойчивость упругих систем

466

(ГЛ. XIX

УСТОRЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА

В результате приходим к следующим дифференциальным уравнениям: д4v iJ2v EJIDдz& +т дt3 =О,

д4и д2u Ely дz• + (М 0 + Mt cos бt) дzз +т дtа =О, д2<р

(19.2)

+м d дzа тр дtа = . Первое из уравнений (19.2) содержит только одно неиз вестное-вертикальное перемещение v (z, t) и совместно с неоднородными граничными условиями EJ iJ2v (О, t) = EJ д2v (l, t) -(М,,+ Mt cos бt) ID дzЗ ID дz2 v описывает обычные вынужденные колебания полосы в пло скости ее наибольшей жесткости. Оставшиеся два уравнения образуют систему двух дифференциальных уравнений с пе риодическими коэффициентами. Рассмотрим случай шарнирного опирания по обоим кон цам (фиг. 129). Граничным условиям и(О, t)=u(l, t)=~(O, t)=~(l, t)=O, даu (0, t) _ д2и (1, t) _ д2., (0, t) _ д2:р (/, t) _ О дz2 - дzЗ - дz2 - дzЗ - можно удовлетворить, приняв для и (z, t) и ~ (z, t) выраже ния в виде 00 u(z, ~ . nтcz t) = и n (t) SIП -,-, n=-1 rp (z, t) = ~ Фn (t) sin n;z. nst Подстаноока в (19.2) приводит к следующей системе уравнений: f ) д2u tcos Jt дz'4- OJ д2:р + ~ д2:р О (Мо 00 (19.3)

1

d2Un "ti"t3 + wniD_ и n- патсэвJ, (М 0 + Mt cos бt) =О, . d;:п + w~"' l Фn-~~ (М 0 + M 1 cos0t)] =О (n= 1, 2, 3, ...). 2 [ / 2 Фn ]

(19.4)