Динамическая устойчивость упругих систем

435

§ 78)

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

Подставим эти выражения в (18.8). Если ось арки очер чена по кривой давления от заданной нагрузки, то 1) J Krr(S, a)pr(a) da+ J Kr'f(s, a)p'f(a)da:=O, J K'fr(s, a)pr(a)da+ J K'f'f(s, a)p'f(a) da:=O, и мы получаем следующую систему однородных интегро дифференциальных уравнений: u(s, t)- s N(a, t)дKr~S, а)[ди~:· t)+v}~~:>J da+ + f д2u(а, t) ' Krr.(S, а)т(а) дtЭ da+ + S дЭv(а, t) О Kr'f(s, а)т(а) дt3 da = , v(s, t)- s N(a, t) дК,~s, а) lди~: t)+vr(~~:>Jda+ + f д?u (а, t) K,r(s, a)m(a) дtЗ da+ + S д3v (а, t) K,,(s, a)m(a) дtа da=O. (18.12) Уравнения (18.12) не являются линейно независимыми: легко видеть, что одно получается из другого почленным дифференцированием. Однако для дальнейших выводов удоб нее все же рассматривать совокупность обоих уравнений. 2. Остановимся на частном случае уравнений ( 18.12)- на· интегральных уравнениях собственных колебаний арки u(s)-w'l J m(a)Krr(s, a)u(a) do- ) . -w?. J m(a)Kr,(s, ~)v(a)da=O,I (18.13) v(s)-w?. J m(a)K,r(s, а) u(a)d'- 1 -w2 J m(a)K,,(s, a)v(a)d,=O. J

1) Обжатием оси арки и продольными колебаниями пренебрегаем. 28•