Динамическая устойчивость упругих систем

42 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ (ГЛ. 1

Для того чтобы уточнить формулу (1.34), рассмотрим второе приближение 62 1-+-u.-- -, 4!l2 -tJo 902 =о. 1 - 4!l~ (1.35) Подставив приближенное значение критической частоты (1.34) в нижний диагональный элемент определителя ( 1.35), мало влияющий на окончательные результаты, и разрешив уравне ние относительно 6, получим формулу 6_* = 2Q у 1-+-:.J. + 8~~~~-' где последний член под радикалом учитывает поправку вто рого приближения. Эта поправка возрастает по мере увели чения 11• но даже при 11 = 0,3 не превышает одного про цента. Таким образом, точность весьма простой формулы (1.34) оказывается достаточной для практических целей. Полученный результат станет понятным, если вспомнить, что «Определитель первого порядка)) в уравнении ( 1.28) соответствует учету первых членов ряда (1.27), т. е. . 6t 6t f(t)=a stn 2 +ьсоs 2 . Хорошие результаты, которые дает первое приближение, означают, что периодические решения на границах главной области неустойчивости по своему характеру близки к гар моническим колебаниям. К этому выводу мы еще вернемся в дальнейшем. Остановимся на одном истолковании, которое можно дать формуле (1.34). Переписав эту формулу в виде с. 2 ~ Г l Р 0 -+- Pt u*= w V -Р-2Р ' * * сопоставим ее с формулой (1.8) для определения собствен ной частоты стержня, загруженного постоянной продольной СИЛОЙ