Динамическая устойчивость упругих систем

416

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ (ГЛ. XVII

причем постоянные определяются из· граничных условнА. Так, в случае стержня, шарнирно закрепленного по обоим концам, можно положить: u(z, t)=U(t)siпr;, J (17.28) ер (z, t) = Ф (t) siп "';. Тогда согласно формуле (17.27) r:2 (z2 ) v(z, t)=-fiU(t)Ф(t) 4 + 8r: 2 cos - 1 +Cz+C 1 • 12 2r:z

Из граничных условнА

v(O, t)=v(l, t)=O

следует, что

1 С=--1 4 J

Окончательно получаем: ~ [ UJ v(z, t)= 412 U(t)Ф(t) z(l-z)+r:2sin2 7 , (17.29) Аналогично определяются прогибы и в других случаях опор ного закрепления. Таким образом, при изгибно-крутильных колебаниях возникает инерционная нагрузка дЗи (z, t) !1q(z, t)=-m дt 2 ~

или tщ (z, t) =- ~7а 2 (И"Ф + 2И'Ф' + И"Ф") Х Х [z(l-z)+~: sin27]·

(17.30)

В общем случае

!1q (z, t) =- (И"Ф + 2И'Ф' + UФ")/(z), (17.31) г де f (z)- пекоторая функция, характеризующая формы колебаний балки и закон распределения массы по длине. Дополнительный изгибающий момент, вызванный этой на грузкой, будет, очевидно: !1M(z, t) = -(И"Ф +2И'Ф' + UФ")F(z), (17.32)