Динамическая устойчивость упругих систем

§ 75) 415 § 75. Задача динамической устойчивости тонкостенных стержней в нелинейной постановке 1. В отличие от нелинейной задачи, рассмотренной в первой части книги, задача динамической устойчивости тонкостенных стержней требует исследования системы двух или трех нелинейных дифференциальных уравнений с nерио дическими коэффициентами. Особые трудности вызывает также определение нелинейных характеристик системы. Даль нейшее исследование мы проведем с учетом основного нели ЗАДАЧА УСТОJ\ЧИВОСТИ В НЕЛИНЕJ\ноJ\ ПОСТАНОВКЕ

нейного фактора-нелинейной инер ционности, причем ограничимся слу чаем сечения, имеющего одну ось симметрии (фиг. 1 04). На продольных перемещениях • w(z, t)= ~ J (:~у d~ (17.26) о возникает инерционная продольная сила, которая должна быть учтена при составлении нелинейных урав нений. Но в отличие от плоской задачи здесь мы имеем также нели-

!1

Фиг. 107. нейные инерционные силы другого типа. Изгибно-круrиль ные колебания стержня из плоскости Oyz описываются линейным смещением и (z, t) и углом закручиваниЯ (/) (z, t). Кроме того, центры тяжести сечений получают также пере мещение v(z, t) в наnравлении оси Оу (фиг. 107); оно измеряется величинами второго порядка малости и связано с основными перемещениями и (z, t) и 11 (z, t) нелинейно. Установим эту связь. Проектируя кривизну стержня в П.IIОСкости О'х' z' на ось Оу, получим кривизну в плоскости Oyz

д2v д2u дzа:::::::: дz2 q>.

После двукратного интегрирования

v(z, t)= J J :~q>dzdz 1 +Cz+C 1 , (17 .27)