Динамическая устойчивость упругих систем

406

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ (ГЛ. XVII

Подставив эти выражения в ( 17 .12), получаем систему диф ференциальных уравнения: д4и + ази д~:р EJ 11 дz 4 N(t) дzЗ +Nt(a 11 -e 11) дzЗ + д2u д2f +т дt 2 +ma 11 дf~ =О, д4v + д~ дЗf EJx дz4 N(t) дz2 -Nt(ax-ex) дzЗ + д?.v д2'9 +т дtз -max дt2 =О, (17.13) N дЗи ~ (t)(a 11 -e 11) дz 2 -N(t)(ax-ex) дz 2 + + Elw ~; + [N (t) (r 2 + 2?а:ех + 2~ 11 е 11 )- В дальнейшем остановимся на случае стержня, опертого по обоим концам (обобщение на другие случаи опорного закрепления тривиально). Граничным условиям (о) _ (О) _ , (О) _ д2u (0) _ д"-v (О) _ д2f (0) _ О и - v - 11 - дz"~ - дzЗ - дz2 - • (/) - (l)-, (l)- д2и (/) - д?.v (/) - д2f (/) - О и -V -11 - ~ - ~ - ~ -

можно удовлетворить, положив

и (z, t) = ~ И k (t) sin ;7 , \ k;1 1 v(z, t) = ~ Vk (t) sin k~z, f k=1 00 !f (z, t) = ~ Фk (t) sin k;z, k=1

(17.14)

где Uk(t), Vk(t), Фk(t)--некоторые функции времени. Под стан<;>вl(а рядов (17 .14) в уравненnя ( 17 .13) приводит 1( си-