Динамическая устойчивость упругих систем

403

§ 72)

РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ОПОРНОГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ

Уравнение «собственных 1 + 0,2732;3 -7,2576).. 0,0472?- 0,6816)..

частот» имеет вид: - 1,2732?- 6,1408Л 1- 0,1582~- 0,7584Л

1 =0,

где

4Pl2 ~ = 'lt2EJ'

Л_ ml4p2 -

'lt4EJ •

Раскрывая определитель, получаем уравнение

1,3186Л 2 -(8,0160-0,3630;3)Л + 1+ 0,1150;1 +0,0169;3 1 =0

все корни которого-вещественные и простые, пока

(8,0160-0,3630;3)~-4 · 1,3186(1 +0,1150?+0,0169?2)>0. Отсюда находим два значения ~. соответствующие появлению пары кратных корней: ~ 1 =О, 9942, ~ 2 =- 140,5 (второе значение ввиду приближенности уравнения едва ли является достоверным). Если~ > ~ 1 то среди р появляются такие, ко торые имеют отрицательную мнимую часть. Минималь·ное значение критической силы составляет: - EJ Р.= 24,43 12 , что на 20°/ 0 больше, чем точное значение, полученное в ци тированных выше работах М. Б е к а, К. С. Д е А н е к о и М. Я. Леонова. ПриведенныА выше анализ, является, однако, недостаточ ным. Задача устойчивости форм равновесия стержня по суще ству является нелинейной, и то, что было квалифицировано как устойчивость, на самом деле является сомнительным случаем по Ляпунову. Для определенного класса задач теории упругой устойчивости такой грубый подход может быть оправдан. Если доказано, что введение сколь угодно малого затухания обра щает сомнительный случай в асимптотическую устойчивость, то это избавляет нас от необходимости производить строгий анализ там, где требуется лишь приближенное решение. Здесь это, вообще говоря, не имеет места. Так, Циглер 1) nоказал, что в случае простеАшеА системы, находящеАся под

1) Ziegler Н., Ing. Arch. 20, М 1, 1952.

26*