Динамическая устойчивость упругих систем

402

УСТОПЧИВОС1'Ь nРЯtdОЛИНЕПНЫХ СТI':РЖНЕП

[гл. хvн

получим характеристическое уравнение

1 С- 1 (E-a:A)-p"Ei =О. Если все р вещественны или имеют положительные мнимые части, то заданное положение устойчиво. Если среди кор ней р окажется хотя бы один, имеющиП отрицательную мни мую часть, то возмущения будут неограниченно возрастать со временем. Равновесие, устойчивое в смысле Эйлера, окажется неустойчивым в динамическом смысле. В случае, когда все внешние силы-консервативные, матрицы С и C-lA симметричны и, следовательно, все р·з вещественны. Переход от вещественных р к мнимым возмо жен только через значение р =О, т. е. через безразличное равновесие в смысле Эйлера. Таким образом, для упругих систем, загруженных консервативными силами, классическая трактовка понятия статическоП устойчивости оказывается достаточной. «Следящие» силы, вообще говоря, являются неконсерва тивными. Например, работа силы Р (фиг. 101) зависит от выбора пути, которым стержень приводитс~ к окончательному положению. В случае неконсервативных параметрических сил матрица С- 1 А несимметрична и, следовательно, р·? могут быть как вещественными, так и комплексными. И, что осо бенно важно, переход от вещественных к комплексн ,Jм КО.J ням может происходить через кратные значения, отличные от нуля, т. е. минуя безразличное равновесие 1). Задача об устойчивости упругого стержня, заделанного одним концом и нагруженного на другом конце «СледядеА» силоА, является как раз задачей такого рода. Считалось, что прямолинейная форма стержня останется устоАчивоА при всех значениях силы Р 2). Совсем недавно было пока за но~). что при достаточно больших значениях силы возможна поте,Jя устрИчивости в динамическом смысле, Это вытекает таюке из составленных выше уравнений. 1) См. Е. Л. Н и к о л а и, Труды по механике, Гостех издат, 1955, стр. 357 и далее. 2) Р f 1 ii g е r, А.,. StabllitatsproЬieme der E1astostati :<, Berlin, 195~. стр. 217: Ф е о д о с ь е в В. И., Избранные задачи н волросы по со противлению материалов. Гостехнзцат, 1953, стр. 165. S) В е с k М., Zeitschr. angew. Math. Phys. 3, 1952, .Nh 3; д еЙ· н е к о К. С., Л е о н о о М. Я., llрикл. мат. и мех. 13, 1955, М 6.