Динамическая устойчивость упругих систем

§ 5) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 39 Происхождение резонанса при fJ = 2Q легко вытекает из следующих рассуждений. Представим себе, что стержень (фиг. 2) совершает поперечные колебания с собственной частотой Q. Продольное перемещение подвижного конца при этом также будет периодической функцией времени, однако с частотой 2Q. Действительно, на каждый период попереч ных колебаний приходится два периода колебаний подвижной опоры. Для поддержания резонансных колебаний необходимо, чтобы внешняя сила, приложеиная к подвижному концу, имела частоту 2Q, тогда (j = 2Q. Прежде чем перейти к дальнейшим вычислениям, обратим внимание на особенности этого своеобразного параметри ческого резонанса. Если обычный резонанс вынужденных колебаний имеет место при совпадении собственной и воз буждающей частот, то параметрический резонанс наступает при совпадении возбуждающей частоты с удвоенной частотой собственных колебаний. Другое существенное отличие пара метрического резонанса состоит в возможности возбуждения колебаний при частотах, меньших, чем частота главного резонанса. Наконец, качественно новое в параметрическом резонансе-это наличие сплошных областей· возбуждения (областей динамической неустойчивости), к расчету которых мы переходим. 2. Поскольку мы имеем эдесь дело с бесконечными опре делителями, вычисления целесообразно проиэводить, последо вательно рассматривая определители первого, второго, треть его и т. д. порядков. При этом разница между двумя последовательными приближениями может служить практи ческой оценкой точности вычислений. Для числовых подсчетов возможно представление беско нечных определителей типа (1.28) в виде цепных дробей. Покажем это на примере определителя

=0

(к такому виду может быть приведен любо:t из наших опре делителей).