Динамическая устойчивость упругих систем

382

(ГЛ. XVI

ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

пригоден для фактического отыскания решений. В дальней шем для этой цел11 будет развит метод формальных разло жениИ в тригонометрические ряды. При этом будет сохра нено полное соответствие между способами рассмотрения линейной и нелинейной проблем. Периодическое решение типа !(t+ ~7t) =/(t)

будем искать в виде

00 f= ~ {aksink~t +Ьkcosk~t).

(16.75)

k=1,S;5

г де ak и bk- векторы с постоянными составляющими. Лег ко видеть, что ряд (16.75) при надлежащем выборе коэф фициентов формально удовлетворяет уравнению (16.72) с нелинейной частью (16.74). Это будет выполняться также в том случае, если к функциям ф, добавить однородные алгебраические формы пятой, седьмой и вообще нечетных степеней. Прежде всего подставим ряд (16.75) в выражения для Yi· Тогда, очевидно,

• kOt +

00

, (/ /' f 7) _ 9i , , -

kOt)

(16.76)

,.., ( ~ v,kstnт wikcosт ' k~1, s. 5

где

vik = vik (al, аз, · · · • Ь1, Ьа, · · · ), wik = w,k(al, as, · · · • bl, bs, · · .)

-однородные третьей степени функции от компонент век торов ak и bk. Векторы, составленные из vik и wik• обо значим соответственно через "' и w,. Подставим (16.75) и (16.76) в уравнение (16.72) и при- . kOt kOt равняем КОЭфф~uиенты при ОДИНаКОВЫХ Stn Т И COS т·

В результате получим системы векторных уравнений, кото-