Динамическая устойчивость упругих систем

§ 69]

379

ПРИМЕР. СЛУЧАЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Все sk и ck, а также а зависят от а и q:

Ss = -:- ~ q + ~ q"4 cos 2а + О (q 8), S6= l~q':!+ O(qS),

с 8 = : 4 q':! sin 2а+ О (q11),

(остальные коэффициенты имеют порядок q 8 и выше). Ддя определения параметра а и характеристического показателя имеем уравнения а = 1 - q cos 2а + 4q':! (-1 + ~ cos 4а) +О (qS), ., = - ~ q sin 2а + О (qS). Полагая v = ~ 6г*, найдем из второго уравнения а. Тем са мым функция q:> (-r, а) определена, и вычисление амплитуды С сводится к квадратурам. Вычисления упрощаются в случае к'онсервативной задачи. Функция q:> (-r, а) вырождается здесь в одну из. функций Матье целого порядка (в зависимости от того, в окрест ности какой именно области возбуждения ищется периоди ческое решение). Так, для главной области следует взять ер (-r) = се 1 (-r) или

где

1 се 1 (-r) =сон- 8 q cos 3-r+

+i 4 q 9 ( -cosЗ-r+; cos5-r)+O(qs), + i 4 q':! ( sin 3-r+ ~ sin 5-r)+ О (q').

se 1 (-r) = sin-r- ~ q sin3-r+

Для случая q~ 1 возьмем:

се 1 (-r) ~ co.s -r, se (-r) ~ sin -r.