Динамическая устойчивость упругих систем

376

(ГЛ, XVI

ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

и сопряженная с неЯ

~~~- Q:(l- 2~cos 6t)'tj 2 =О, l ~7 +"11- 2s."' 2 =О. f

(16.61)

Заметим, что из (16.61) следует уравнение для 'tj 2 ~ 2 - 2s* ~~ 2 + Q: (1 - 2fL cos &t) "1 2 =О, Т. е, уравнение ДЛЯ "12 ОТЛИЧаеТСЯ ОТ уравНеНИЯ ДЛЯ Е 1 tf.IEt + 2~ dEt + n2 ( 6 ~ О ( 16 62) dfd ... (j[ 11:0. 1 - 2fL cos t) •1 = . знаком перед вторым членом. Одно уравнение может быть получено из другого заменоя t на - t. Следовательно, между решениями сопряженных систем существует зависи мость "12 = е1 <- t). (16.63) Ближайшая задача состоит в· отыскании периодических решения систем (16.60) и (16.61). Как известно(§ 7), реше ния уравнения (16.62) имеют вид е1 =и (t) e-•.t, г де и (t) --решения уравнения Матье ·tf.lu +Q 2 (1- ~: - 2u.cos6t) и= О. (16.64) dt2 • g2 1 .. . Линейно назависимые решения уравнения Матье и 1 (t) = e'-tq~ (t), и 2 (t) = г-"tч> (- t), г де h- характеристический показатель, q> (t)- периодиче ская функция времени с периодом Т= 2'1t/6 или 2Т. Усло вие периодичности для Е 11 и Е 12 требует, чтобы h=a,... Отсюда находим, что первое (периодическое) решен~tе си стемы (16.60) имеет вид

t "11 = q> • "21 - (t) t -

d

(16.65)

dt

о