Динамическая устойчивость упругих систем

§ 69)

375

ПРИМЕР. СЛУЧАЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Считается, ч l'O малый параметр включен в выражение v(1. :{, t). Следовательно, все три слагаемых в (16.55) должны быть одного порядка малости, т. е. 2 и 2 •• в и s. должны быть доста·rочно близкими. Установим значения в. и 2.. Для этого преобразуем уравнение (16.54) к безразмерному виду, введя новое пере менное fJ = 2't:

Сравним это уравнение с линейным уравнением динамиче ской устойчивости, приведеиным к безразмерному виду

tPf 4Q2 d-r'A +О d-r + li3 (1 - 2!~-.COS 2't) 1 = 0. 4е df

(16.57)

Уравнение (16.57) имеет периодические решения при fJ = f.l*, г де fJ* -критическая ча'стота. Сопоставляя ·коэффициенты, находим:

(16.58)

Условие малости функции (16.55) сводится, таким обра зом, к требованию, чтобы возбуждающая частота fJ, для которой ищется решение нелинейной системы, находилась в достаточной близости от одной из критических частот о •• 2. Обозначив 1 = х 1 , dfldt = х 2 , запишем уравнение (16.54) в виде

(16.59)

Соответствующая укороченная система будет d;: -ez=O, 1 ~: + 2в.е 2 + 2: (1 - 211- cos fJt)e 1 =о

(16.60)