Динамическая устойчивость упругих систем

374

(ГЛ. XVI

ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

hk (k-:;;::,. 2) отличны от нуля. Отсюда находим условие суще ствования периодического решения нелинейной системы: дz1 [ дl\'t] *о. д~\' Одновременное обращение в нуль у 1 и -д 1 при z 1 =С :z1 означает, что С является кратным корнем уравнения (16.51). Итак, если укороченная система (16.28) имеет един ственное периодическое решение, а уравнение (16.51) имеет простые вещественные корни, то при достаточно малом f1. нелинейпая система (16.27) имеет периодическое решение, обращающееся в порождающее решение при fl. =О. Нулевое приближение определится из алгебраической системы

(16.52)

где С-корень уравнения (16.51).

§ 69. Пример. Случай системы второго порядка 1. Рассмотрим уравнение второго порядка ~~ +2е :{ +Q~(1-2p.cosfJt)f+1f 6 = О. (16.53) Перепишем уравнение (16.53) таким образом, чтобы его «линейная» часть допускала периодическое решение. Этого можно добиться различными способами, варьируя а, fL и Q. Так, при фиксированном fL всегда можно найти подходящую частоту Q* и коэффициент затухания е*. Тогда уравнение (16.53) принимает вид d2f df 2 ( df ) dta+2e*dt+Q.(l-2!LCOSf.lt)f+V j,dt' t =0, (16.54)

где