Динамическая устойчивость упругих систем

369

§ 68]

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ

функции n параметров ~ 1 • ~ 2 •••• , ~п· Эти параметры должны быть найдены из условиЯ (16.35). Здесь необходимо обратить внимание на. следующее. Из начальных условиЯ (16.32) видно, что порождающее реше ние определяется с точностью до постоянной С. Наличие только одной постоянной вполне естественно: периодическое решение линейноЯ укороченноЯ системы может быть опре делено лишь с точностью до постоянного множителя. Это соответствует известному механическому факту, что ампли туда линейноя системы остается неопределенноя. Учет нелинеЯных членов устраняет эту неопределенность. ПервыЯ вопрос, который здесь возникает, вблизи какого решения линейноЯ системы лежит периодическое решение нелинеЯноЯ системы. Иначе, нужно сначала найти значение постоянного множителя при решении укороченноЯ системы. Это будет нулевое приближение для «амплитуды» нелиней ноЯ системы. Для практических целей часто оказывается достаточным нулевое приближение. 4. Для дальнейших вычислениЯ преобразуем систему (16.27) к такому виду, чтобы укороченная система (1 6.28) имела постоянные коэффициенты. Такое преобразо вание всегда возможно, что вытекает из следующей тео ремы: Любая система линейных уравнениО. с пераодическ.ими 1.:оэффициентами может быть преобразована в систему линейных уравнений с постоянными к.оэффициентами при помощи нек.оторой неособенной линейной подстановк.и с периодическ.ими к.оэффициентами. Покажем это на примере укороченноя системы (16.28). В случае, когда она допускает одно периодическое решение с периодом Т, и все элемен тарные делители-простые, полная система решениЯ имеет вид е,1 = ~Pi1 (t), eik = ehkttpik (t)

( l= 1, 2, 3, ... , п.). k=2, 3, ... , п

где ~Pik (t)-периодические функции с периодом Т, hk=ln Pk/T характеристические показатели. ПервыЯ индекс обозначает номер функции, второй-номер решения.

24 Зак. 1035. в. В. 60110Т1111