Динамическая устойчивость упругих систем

368

(гл. XVI

решение нелинейной системы, обращающееся при !L =О в порождающее решение. 3. Фактическое вычисление периодических решениИ пред ставляет серьезные затруднения. Будем искать xi в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням ~ 1 • ~ 2 •••• , ~n• 1-'· Учитывая, что при ~ 1 = ~ 2 = ... = ~n = = 11- = О мы должны получить порождающее решение, по ложим: n xi = ei + 11-Ai (t) + ~ ~kBik (t) + (16.37) k=1 (l = 1, 2, 3, ... , п) (члены высшего порядка не выписаны). Здесь в соответствии с начальными условиями (16.34) Ai(O) =О, Bik(O) = oik· (16.38) Для определения функций Ai (t) и Bik (t) подставим ряды (16.37) в основное уравнение (16.27). Принимая во внима ние (16.28), получаем после сравнения коэффициентов при !L и ~i n ~~ + ~p~kAk=O k=1 (i= l, 2, 3, ... , n), 1 (16.39) (l, j = 1, 2, 3, ... , п) J

и аналогичные системы для определения коэффициентов при высших членах разложения (16.37). В уравнениях (16.39)

(16.40)

Из формулы (16.40) видно, что коэффициенты p~k являются периодическими функциями времени. Таким образом, опре деление функций Ai (t) и Bik (t) требует решения системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Этим трудности отыскания периодического решения не ограничиваются. Решив систему (16.39), мы найдем коэф фициенты рядов (16.37) и, следовательно, решения xi как