Динамическая устойчивость упругих систем

366

(гл. XVI

ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

Если Pk- корень характеристического уравнения для системы (16.28), то 1/pk будет корнем хараюперистиче ского уравнения для сопряженной системы. При этом кратность обоих корней и структура элементарных делителей у обеих систем одинаковы. Из (16.30) следует также, что если полное решение системы ( 16.28) известно, то определение решениИ сопря женной системы сводится к решению алгебраических линеИ ных уравнениИ. 2. Из теории линеИных ди:t>ференциальных уравнениИ с периодическими коэффициентами известно (главы XIV-XV), что периодическое решение системы (16.28), если. оно суще ствует, имеет период Т или 2Т. Задача состоит в том, чтобы установить, существует ли при достаточно малом значении f!. периодическое решение нелинейной системы (16.27) с тем же периодом, что и у линеИной системы (16.28); если оно существует, его нужно найти с тем или иным приближением~ Речь идет здесь о тех решениях нелинеИной системы, которые при достаточно малом :J. мало отличаются от соответствующего решения укороченной системы, или, точнее, при f!. =О обращаются в соответствующее решение системы (16.28).· Пусть (l = 1, 2, 3, ... , n) (16.31) -какое-либо периодическое решение укороченной системы, удовлетворяющее начальным условиям (i = 2, 3, ... , n). (16.32) Это решение будем называть порождающим. Периодическое решение нелинеИной системы, если оно существует, будет зависеть от малого параметра f!. и, кроме того, от n пара метров ~i: (i = 1, 2, 3, ... , п). (16.33) Параметры ~ представляют собой малые изменения на чальных условиИ: Xt (0, ~1• ~9• • • • • ~n• f!.) =С+ ~t• } xi (0, ~ 1 • ~ 2 •••• , ~п• :J) = ~i (i = 2, 3, ... , n). (16.34)