Динамическая устойчивость упругих систем

365

§ 68)

О nEPИOдiiЧECIOtX РЕШЕНИЯХ

ческими коэффициентами. На основе этого решения мето дом последовательных приближений находится приближен ное периодическое решение нелинейной системы. Попутно устанавливаются условия существования периодических решениА. Рассмотрим систему уравнениА типа n d:: + ~Pikxk+!J-Vi(xl, -"'2• • • ·• Xn, k=l (l= 1, 2, 3, ... , n), t)- о 1 .(16.27) где Pik- nериодические функции времени с периодом Т, Vi -нелинеАные функции ОТ Х 1 , Х 2 , ••• , Xn И периодические ·(с перидом Т) функции времени, 11-- малый параметр. Эти функции предполагаются непрерывными по всем аргументам. в отличие от функций ~i в уравнениях (16.8) функции vi могут содержать также и линейные члены. Последние выби раются таким образом, чтобы система имела периодическое решение: Систему (16.28)~ получаемую из (16.27) при 11- =О, будем называть yl€opoчeюtOIJ.. Наряду с системой (16.28) рассмотрим также систему, сопряженную с неА, т. е. полученную из (16.28) путем замены матрицы Pik транспонированной и взятой с обратным знаком: n dТjt ~- о ж-~ Pki"'lk= (t = 1, 2, 3, ... , n). (16.29) k=l Р~шения заданной и сопряженной систем удовлетворяют, как известно, . условию (16.30) Чтобы убедиться ·В этом, достаточно продифференцировать (16.30) по времени и использовать (16.28) и (16.29). Из (16.30) вытекает следующая теорема, установленная А. М. Ляпуновым: (l= 1, 2, 3, ... , п) (16.28) •.