Динамическая устойчивость упругих систем

364

(ГЛ. XVI

ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

ближеиное равенство

Nд (х, t) ~ '1.No (х)+ ~Nt (х~ cos et V( 62 )2 402€2 \-_2_ +--L шL ш:},

Заметим в заключение, что результаты данного пара графа основаны на предположении, что нелинейные функции в (16.19) являются непрерывными по всем аргументам. В противном случае теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению становится неприменимой .. В каче стве примера системы с разрывными нелинейными функциями укажем на систему с сухим трением. Сила сопротивления в этом случае, как известно, Ri = - ki sign /~ и, следовательно, нелинейные функции терпят разрыв пер вого рода при /~=О. § 68. О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами 1. Для отыскания периодических решений нелинейных · уравнений в первой части книги (§§ 19-20) применял ея простой приближенный метод, основанный на разло жении в тригонометрические ряды. Недостатком этого метода является то, что существование периодических ре шений постулируется, а сходимость рядов остается недо казанной. Общие методы нахождения периодических решений систем дифференциальных уравнений были даны А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым 1). Основываясь на этих методах, Л. И. Ман дельштам и Н. Д. Папалекси разработали теорию периоди ческих решений систем с периодическими коэффициентами и малой нелинейностью 2). В качестве исходного пункта берется периодическое решение линейной системы с периоди- ') Л я п у н о в А. М., цит. на стр. 358; Р о i пса r е Н., Des met· hodes пouvelles de \а mecanique ce\este, 1892. См. также М а л кин И. Г .. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории не.11ицейцых; колебаний. Гостехиздат, 1949. · 2) Жури. теор. 1! эксп. фи~. 1~, 605-612 (1945),