Динамическая устойчивость упругих систем

§ 67) СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИЯМИ 361

решение неустойчиво. Следовательно, линейная теория поh ностью отвечает на вопрос об устойчивости исходной формы движения (отождествляемого с медеформированным состо янием). ·Некоторые сомнения могут появиться в отношении кон се рватинной задачи. В этом слу11ае вне пределов областей возбуждения корни характеристического уравнения равны по ·МJдулю единице; поэтому на первый взгляд кажется, что мы имеем дело здесь с сомнительным случаем, когда первое приближение не решает вопроса об устойчивости решений. Следует учитывать, однако, что случай корней, равных по модулю единице, принадлежит исключительно консерва­ ·тивным системам и должен рассматриваться как результат идеализации реальных систем. Введение же в соответствую Щие дифференциальные уравнения сколь угодно малого зату хания (при полной диссипации) дает асимптотическую устой чивость нулевых решений всюду, за .исключением областей возбуждения. Рассмотрим теперь более общие уравнения (16.16). Введя «продольное» и «поперечное» затухание с коэффициентами eL и е, перепишем их в виде и;+ 2еLи~ + wl,иi + F i (/р• t;. t;,> = \ . ~ j p~ 1 :x~~ 1 (l)(P 0 +P,cos6t). ! 1; + 2вf~ + w~A-~ ~ s<:Jupfq =О р~1 q=1 (16.22) (l= 1, 2, ... , т.). k = 1, 2, ... , n г де F i- совокупность членов второго порядка из левой и правой частей уравнений (16.16). Для заданного невозму щенного движения все fi =О, а и, определяется из линеА ной системы 1 иj + 2е Lи~ + wlttli = J p·~i dx + Фi (l) (Р 0 + Р cos FJt) ( 16 .~3) о (i= 1,· -2, 1. 8 1 т).