Динамическая устойчивость упругих систем

360

(ГЛ. XVI

ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

Если в исходной системе (16.19) Fi периодически зави сят от времени и если исследуется устойчивость периоди ческого решения, то система (16.21) имеет периодические коэффициенты. Задача об устойчивости заданного движения сводится, следовательно, к системе линейных уравнений с периодическими коэффициентами. А . .М. Ляпунову принадлежит разрешение вопроса о том, в каких именно случаях уравнения п~рвого приближения полностью решают задачу об устойчивости нелинейной системы. Здесь важную роль играют корни характеристи ческого уравнения системы (16.21), называемого в дальней шем просто «характеристическим уравнением». · Имеет место следующая теорема. Если все корни характеристического уравнения по .uо дулю .меньше единицы, то невоз.мущенное движение аси.мп тотически устойчиво, каковы бы ни были члены высшего порядка в уравнениях возмущенного движения. Если же в числе корней характеристического уравнения находятся такие, .модуль которых больше единицы,-невоз.мущен ное движение неустойчиво. Если характеристическое уравнение, не имея корней с модулями, большими единицы, имеет корни с модулями, равными единице, случай этот остается сомнительным: пер вое приближение не решает вопроса об устойчивости дви жения. Для разрешения его надлежит рассмотреть члены высших порядков в уравнениях возмущенного движения; от величины этих членов и будет зависеть устойчивость или неустойчивость движения. 3. Возвратимся к уравнениям динамической устойчивости. Легко видеть, что уравнения линейной задачи (16.5) являются уравнениями в вариациях для системы ( 16. 8), с оста пленными при условии, что варьируется медеформированное состояние системы. Действительно, система (16.8) имеет тривиальное реше ние/= О. Подставляя в (16.8) вместо J возмущенное зна чение J+; и опуская нелинейные члены, приходим к (16,5)~ где вместо ; вновь написано j. Из теоремы Ляпунова следует, что нулевое решение нелинейной системы устойчиво всюду, за исключением обла­ ~тей возб,уждения. .линейной систем!>{. (т. е. области дина миче~кой н~у~тqй~и~о~ти). В npeд~.r1a~ ати;tt обла~т~А »улевое