Динамическая устойчивость упругих систем

§ 67) СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИЯМИ 359 и при всяком t > / 0 выполнялись неравенства 1 ~i (t) 1 < ei (l = 1., 2,. .. , п), (16.20) то неваэмущенное движение устойчиво, в противном слу чае- неустойчиво. Иначе, движен.ие н.азывается устойчи вым, если малые изменен.ия в н.ачальных условиях доста точно мало от"лон.яют систему от н.евозмущен.н.ого дви жения; при этом, умен.ьшая начальные возмущен.ия, можн.о сделать от"лон.ения при t > / 0 с"оль угодн.о малыми. Если выполняется условие, более сильное, чем (16.20), а именно, если возмущения асимптотически затухают со вре менем lim 1 ~i (t) 1 = О (l= 1, 2, ... , п), t-+- 00 то движение называется асимптотичес1€и устойчивым. 2. Для суждения об устойчивости невозмущенного дви жения зачастую решающее значение имеют «уравн.ен.ия в вариациях», соответствующие заданноЯ дифференциаль ной системе. Для получения уравнениЯ в вариациях посту пим следующим образом. Подставим возмущенные значения xi в (16.19): ~Ui+Ei)=Fi(t, /1 +~1./2+е2, ···• fп+~п) (l= 1, 2, ... , п). Разлагая правую часть в ряд по степеням возмущениЯ и учитывая, что fi удовлетворяют уравнениям невозмущенного движения, находим:

tl ~~~= ~Pik~k+Ri(t, ~1' Е2····• Еп)· k=1

Здесь

дР.; (t, ft, /2• · · ·• fп)

Pik= • а Ri- члены разложения, содержащие Ek в степенях выше первой. Отбрасывая эти члены, получаем уравн.ен.ия в ва риациях дfk

(t = 1, 2, ... , п).

(16.21)