Динамическая устойчивость упругих систем

358

(ГЛ. XVI

ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

§ 67. Соотношение между линеАноА и нелинеАноА теориями 1. Задача о динамической устойчивости по существу является задачей нелинейной, поэтому, естественно, возни кает вопрос о границах применимости выводов линейной теории. Правильное соотношение между линейной теорией и теорией, основанной на нелинейных дифференциальных уравнениях, может быть понято на основе теории устойчи вости движения А. М. Ляпунова 1). Пусть движение системы описывается уравнениями вида (l= 1, 2, ... , n),(16.19) г де F i (t, xl' х~,. . . х, 1 )-некоторые непрерывные нелиней ные функции времени и обобщенных координат х 1 , х~, ... ,xn. Рассмотрим какое-либо частное решение системы (16.19) Xi=fi(t) (l= 1, 2, ... , n), соответствующее невозмущенному движению. Наряду с невоз uущенным движением рассмотрим также другие, соседние с ним движения (l = 1, 2, ... , п), начальные условия для gnторых достаточно мало отличаются от начальных условий для fi (t). Эти движения будем назы вать воз.мущенны.ми, а разности fi (t) -- xi (t) - воз.мущения.ми. Приведем теперь опрер.еление устойчивости (неустойчиво сти) движения, сформулированное А. М. Ляпуновым. Пусть в 1 , в 2 , ••• ,вn-произвольно заданные положительные числа. Если при всяких вk, к11.к бы малы они ни были, могут быть найдены такие положительные числа -rj 1 , -rj 2, ••• , 'tJn• чтобы при всяких начальных возмущениях, удовлетворяющих условиям 1 ~i (fo) 1 < 'tJi (l = 1, 2, ... , n),

1) Л я п у н о в А. М., Общая задача об устойчивости движе ния. Гостехиздат, 1950. См. такж~ Чет а е в Н. Г .. Устоi1чивос;т11 движения. Гостехи3дат, 1955,