Динамическая устойчивость упругих систем

354

(гл. XVI

ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

движение отождествлялось с медеформированным состо янием; учитывались лишь реакции «продольной» системы на перемещениях wi, которые связаны с прогибами стержня чисто геометрически. · Приближенный способ совместного рассмотрения выну жденных и параметрически возбуждаемых колебаний при менительно к нелинейной задаче был намечен в § 31. Этот способ может быть развит для любой упругой системы; ниже будет показано его применение для общей задачи динамической устойчивости прямолинейных стержней. Будем исходить из уравнений д ( ди) д2u ra: ,. [дv д3v ( д2v )'1] . ' дх EF дх -т дt2-. т(~) д; д; дtз+ д; дt d; = о (16.9) =-р(х, t), д~ 2 (EJ~;~)+ д~(ЕF::~~)+т :~=О, которые являются обобщением уравнений (8.4) и (8.5) на случай стержня перемениого сечения. Здесь и (х, t)- про дольное перемещение, которое будем считать положительным, если оно направлено в сторону, противоположную оси х; р(х, t)- распределенная сжимающая нагрузка такая, что всюду, за исключением точек приложении сосредоточенных сил, dN=pdx. Нижний конец стержня закреплен от продольных смеще ний, на верхнем конце пряложена сосредоточенная сила dw d~ N(l, t)=P 0 +PtcosfU-cw-kLdt -MLdt 2 , (16.10) г де w (t) ·определяется из ( 16.2). Следовательно, граничные условия для и (х, t) и (0, t) =О, ) EF ди ~~ t) = N(l, t). J (16.11) Что касается граничных условий для поперечного прогиба v(x, t), то они могут быть произвольны. Решение задачи