Динамическая устойчивость упругих систем

§ 66) МЕТОДЫ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НFЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ 351 • Число примеров легко увеличить. Впрочем, результат (16.1) вытекает из самой постановки задачи динамической устой чивости. Напомним, что задачами динамической усто~чивости мы назвали задачи о колебаниях систем под действием периоди ческой параметрической нагрузки. Нагрузка называлась· параметрической (по отношению к перемещениям vk), если она входит в уравнения возмущенного движения как множи тель при 'l/1, 'l/2, • • • • 'Vn· Дадим теперь другое определение параметрической на грузки. Назовем нагрузку параметрической (по отношению к перемещениям vk), если она совершает работу на перемеще ниях uk, являющихся величинами второго порядка малости по сравнению с vk (16.1). Оба определения равноценны. Чтобы доказать это, составим уравнения Лагранжа для воз мущенного двИжения: .!!_(дТ,)-~ (Т- U) = дV dt даk' дfJk дv" (k= 1, 2, ... , n). (16.4) Здесь Т и И-кинетическая и потенциальная энергия системы, V- силовая функция. Пусть Qk- обобщенные силы пара метрической нагрузки, соответствующие перемещениям uk; тогда с точностью до величин второго порядка силовая функция n v = { ~ ~ ~ hr:dQk'llp'llq• k=1 Р=1 q=l ПодставлЯя это выражение в (16.4), получим в правой части «параметрические» члены т 11

'" n :~ - ~ ~ h~:~Qp'Vq· P=l q-1

На перемещениях u 1 , u 2 , ••• , Um возникают силы упру гости, сопротивления и инерции, связанные с перемещениями v 11 v 2 , ••• , 'Vn нелинейно. Очевидно, что эти силы будут параметрическими по отношению к v 1, v 2 , ••• , 'Vn и, следова тельно, будут входить в уравнения возмущенного движения как коэффициенты при v 1 , v 2 , ••• , 'Vn· Это дает нелинейные выражения, начинающиеся с членов третьего порядка.