Динамическая устойчивость упругих систем

350

(ГЛ. XVI

ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

приближении попрежнему иk = и~J/ 1 . Легко показать, однако, что n n 10) + 1 ~ ~ (k) 4 иk = иk 2 ~ ~ hpqvpvq +О (vi), (16.1) p~t q=t г де h.:J- некоторые постоянные, а символ О (v:) означает члены четвертого порядка и выше. В большинстве задач можно пренебречь деформациями в начальном движении, положив и~ 1 = О. Например, для прямолинейного стержня продольное перемещение подвижного конца 1 w=; J (::у dx+O(v') о (деформацией сжатия прt:небрегаем). Отсюда, полагая n v tx. t) = ~А (t)

р~1 q=t

Здесь

(16.3)

Соотношения, аналогичные (16.2), могут быть получены и для других упругих систем. Так, при чисто кососимме тричной деформации арки ее замок получит вертикальное перемещение и (т. е. симметричную компоненту), которая является величиной второго порядка малости по сравнению, скажем, с горизонтальным перемещением замка v (фиг. 99, б). Если узкую полосу подвергнуть изгибно-крутильной дефор мации из плоскости наибольшей жесткости, то центры тяжести ее сечений получат вертикальные перемещения. Эти перемещения будут величинами второго порядка малости П() сравнению с компонентами кососимметричной деформации.