Динамическая устойчивость упругих систем

§ 66) МЕТОДЫ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ 349

В большинстве частных задач (но не во всех!) замена исходного вынужденного движения состоянием равновесия может быть оnравдана. Если частота внешней нагрузки такова, что вынужденные колебания системы происходят вдалеке от резонанса, то их амплитуды достаточно малы, и невозмущенное движение с достаточной точностью может быть отождествлено с недемоформированным состоянием. В тех же случаях, когда резонанс вынужденных колебаний расnоложен вблизи параметрического резонанса, необхо димо совместное рассмотрение обоих видов движения. Для простейшей задачи это выполнено в главе VIII; там же дана оценка погрешности приближенных решений. 2. Составление нелинейных уравнений динамической устойчивости может быть проведено двумя способами. Пер вый способ, развитый в главах 111-VII, состоит в добавле нии к обычным линейным уравнениям нелинейных членов, найденных из дополнительных соображений. Другой способ основан на совместном рассмотрении вынужденных и пара метрических колебаний. Остановимся сначала на первом способе. Пусть и 1 , .u 2 , ••• , um- обобщенные координаты, соот ветствующие заданному движению, v 1, v 2 ; ••• , 'Vn- обоб щенные координаты параметрически возбуждаемых колеба юtй. Так, в задаче о колебаниях сжатого прямолинейного

Фиг. 99.

стержня uk и vk- обобщенные координаты продольных и поперечных перемещений соответственно; в задаче о дина мической устойчивости симметричной формы колебаний арки (фиг. 99) uk и vk- обобщенные коорДинаты симметрич ной и кососимметричной деформаций. Для невозмущенного движения имеем uk =и~>. а все vk =О. Для возмущенного движения vk =F О, и в первом