Динамическая устойчивость упругих систем

35

§ 4]

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТОТ

cos k~t к следующей системе линейных однородных алге браических уравнениЯ относительно ak и bk: (1+11- 4~2)a1-!Las=0, ( 1- ~~:) ak- !L(ak_2+ak+2) =О (k = 3, 5, 7, ...), ( 1-jL- 4 ~~) b 1 -!Lbo =О, (1- ~~:) bk-!L (bk-2+ bk+2) =о (k = 3, 5, 7, ...). З. Как известно, система линейных однородных уравнений имеет отличные от нуля решения только в том случае, если равен нулю определитель, составленный из коэффициентов этой системы. Это положение сохраняет свою силу и в том случае, когда система содержит бесконечное число неизве стных. Итак, условием существования периодических решений уравнения (1.26) является равенство нулю определителей полученных однородных систем. Объединяя оба условия под знаком :±, получим следующее уравнение. Обратим внимание на то, что первая система содержит только коэффициенты ak, вторая- только bk.

о а 1-+- !L- 4!lll

о

-...

goa

- ...

-!L

1 -4Q2

=0.

(1.28)

2582 4QII

- ...

о

1 -

Это уравнение, связывающее частоты внешней нагрузки с собственной частотой стержня и величиной продольной силы, будем называть уравн.ен.ие.м критических частот, понимая под критическими частотами частоты внешней нагрузки О..,, соответствующие границам областей неустойчивости. Урав нение ( 1. 28) позволяет найти те области неустойчивости, которые ограничены периодическими решениями с перио дом 2Т. Чтобы определить области неустойчивости, ограничен ные периодическими решениями с периодом Т, поступим

з~