Динамическая устойчивость упругих систем

34 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОSЛАСТЕЙ ДИ~АМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ (ГЛ. 1

Для отыскания условиЯ существования периодических решений поступают часто следующим образом 1). Введя не который «малый параметр» !J. (за· такой параметр мож~т быть принят, например, коэффициент возбуждения), ищут решение уравнения f' + Q 1 [ 1 - 2!J.Ф (t) 1/ =О 1 =!о+ ~J.ft + ~J- 9 19+ · · · Здесь А-неизвестные пока функции времени. Подставляя это выражение в исходное уравнение и приравнивая коэф фициенты при одинаковых !Jok, получают систему дифферен циальных уравнениЯ с постоянными коэффициентами, кото рая может быть разрешена методом последовательных при ближениЯ. На найденные таким путем решения накладываются ограничения в виде требования отсутствия «вековых» членов, т. е. требования периодичности решения. Условия существования периодических решениЯ могут быть, однако, получены иначе-без применении заимствован ного из нелинеЯноЯ механики «метода малого параметра». Факт существования периодических решения и возможность их разложения в ряды Фурье являются заранее известными. Это позволяет искать периодические решения уравнения (1.11) непосредстве~но в виде тригонометрических рядов. Покажем применение этого метода на примере уравнения ~атье f' +9 1 (1- 2!J.COS0f)/ = 0. ( 1.26) в виде ряда по степеням ~:

Ищем периодическое решение с периодом 2Т в виде

• kOt ak stn 2 + bk cos 2 . k6t)

00 ~

(t) =

(

f

(1.27)

k=1, в. 5

Подстаноока ряда (1.27) в уравнение (1.26) приводит после фф . kOt приравнивания коэ ициентов при одинаковых sш 2 и

1) См., например, Т и м о ш е н к о С. П., Теория колебаний в инженерном деле. ОНТИ, 1934.