Динамическая устойчивость упругих систем

33

§ 4)

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТО'Г

область комплексных характеристических корней соответ ствует ограниченным (почти периодическим) решениям. Границам, разделяющим области вещественных и ком плексных корней, соответствуют кратные корни, причем, как это следует из (1.20), такими корнями могут быть или Р1 = Р2 = 1 • или Р1 = Р2 = -1. В первом случае, как видно из ( 1.15), решение диффе ренциального уравнения будет периодическим с периодом 27t Т= т· во втором случае будем иметь период 2Tl). Ита~. области неограниченно возрастающих решениli. отделяются от областеli. устойчивости периодичес~и ми решениями с периодом Т и 2Т. Точнее, два решения одина"ового периода ограничивают область неустоli.чи вости, два решения разных периодов-область устоli.­ чивости. Последнее свойство проще всего обнаруживается из сле дующих соображений. Предположим, что в интервале между р = 1 и р = -1 лежит область вещественных корней (область неустоАчивости). Тогда вследствие непрерывной зависимости характеристических корней от коэффициентов дифферен циального уравнения среди них должен быть корень р = О, а следовательно, и р = оо, что невозможно. Таким образом, корни р = 1 и р = - 1 ограничивают область комплексных корней, т. е. область устойчивости 2), 2. Как следует из предыдущего, определение границ областей неустоАчивости сводится к отысканию условнА, при которых заданное дифференциальное уравнение имеет пе риодические решения с периодами Т и 2Т. С точки зрения рассматриваемой механической задачи такой результат ка жется вполне естественным. В самом деле, именно перио дическое движение по существу своему является граничным случаем по отношению к колебаниям с неограниченно воз растающими амплитудами. · 1) Более подробный анализ показывает, что периодическим будет только одно из частных решений. Второе решение будет иметь вид f (t) = Х1 (t) + tx.a (t), где 'X.t (t) и "1. 2 (t)- периодические функции времени. м 2 ) Строгое доказательство этой теоремы можно найти в книге . д. С трет т а, цит. на стр. 22. 3 Зах. IOЗS. В. В. Боа011111