Динамическая устойчивость упругих систем

340

УСТОЙЧИВО:ТЬ С УЧЕТОМ ЗАТУХАНИЯ [гл. xv является периодической; остальные же функции /i (i >- 2) затухают со временем. Приведенный выше вывод, тем не менее, опровергается следующими нестрогими, но достаточно убедительными соображениями. Во-первых, ряды (15.24) и (15.26) формально удовлетворяют уравнению (15.16) при любом предположении относительно матрицы а. Это значит, что при достаточно малых sik всегда можно подобрать такие вещественные fJ и~. чтобы определители (15.25) или (15.27) обратились в нуль. При а---+ О это очевидно, а при е * О следует из непрерыв ной зависимости корней алгебраического уравнения от его коэффициентов. Значит, и в случае произвольной матрицы s·ik существуют такие соотношения параметров, при которых все fi (l = 1, 2, 3, ... , n) являются периодическими; по смыслу эти соотношения прина.длежат границам областей не устойчивости. Можно привести и другой довод. Ниже (глава XVI) мы займемся исследованием уравнения, получаемого из (15.16) путем добавления нелинейных членов от/, f и /". Будет показано, что нелинейное уравнение наряду с тривиальным нулевым решением fi =О в определенных областях измене ния параметров допускает периодические решения с перио- . дом 2r./6 или 4r./6. Точки разветвления нулевых и периоди ческих решений дают границы облас;rей динамической не­ . устойчивости, причем уравнения для точек разветвления совпадают с (15.25) и (15.26) и справедливы для любой матрицы рассеяния. § 64.- Пример 1. Рассмотрим систему, которая описывается матри цами 1 ) ~ 1 о 1 ' о A=B=I a2t о

1) Соответствующая консервативная задача рассмотрена в § 58.