Динамическая устойчивость упругих систем

339

§ 63]

УРАВНЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТОТ

При в~ О это уравнение распадается на два уравнения (14.25) и (14.26); соответствующие области неустойчивости лежат вблизи частот

( j =1, 2, 3, ...·). k = 2, 4, 6, .. .

fJ = 2Q.i. k

3. То, что периодические решения соответствуют грани цам областей неустойчивости, не является неожиданным: по своему характеру периодические решения занимают гранич ное положение между затухающими и неограниченно воз растающими решениями (фиг. 96). Предыдущие выводы

относились, однако, к случаю, когда в- скалярная матрица. Возникает вопрос .о распростра нении результатов на случай про извольной матрицы рассеяния. Пусть коэффициенты затуха ния различных форм удовлетво ряют неравенствам Допустим, далее, что, изме няя один из параметров системы (например, ~). мы переходим от затухающих решений (область устойчивости) к неограниченно возрастающим решениям (область неустойчивости). На первый

t

t

t

Фиг. 96.

вагляд, может представиться следующая возможность пе рехода. В пределах области устойчивости все обобщенные пере· мещения /;, (l = 1, 2, 3, ... , n) затухают. На границе области одна из функций (возможно, что это будет / 1 , кall соответствующая форме с минимальным затуханием) станет периодической, остальные будут попрежнему затухать со временем. При дальнейшем увеличении параметра функция / 1 станет неограниченно возрастающей, причем найдется такое значение параметра, при котором периодической станет функция / 2 , и т. д. Таким образом, может случиться, что на границах областей неустойчивости лишь одна функция/ 1

22*