Динамическая устойчивость упругих систем

336

[гл. xv

УСТОЙЧИВОСТЬ С УЧЕТОМ ЗАТУХАНИЯ

Полагая

/ = а sin (§t +Л), где §-частота собственных колебаний, приходим к харак теристическому уравнению IE-a:A -(2 2 +в~) Cl =О. Сравнивая это уравнение с уравнением собственных частот для консервативной задачи 1 Е- а: А- Q 2 C 1 =О, находим:

Отсюда вытекает, что области неустойчивости для (15.20) несколько смещены (в сторону низших ч.астот) относительно

областей неустuйчивости для уравнения Cf' + (Е- а: А- ~Ф (t) В]/= О. В некоторых случаях области неустойчивости для задачи с за туханием могут выйти за пре делы соответствующих областей консервативной задачи. Это схе матически показано на фиг. 95, где области неустойчивости с уче том затухания заштрихованы, границы областей неустойчивости для консервативной задачи обо значены сплошными линиями и

е

о

Фиг. 95.

границы областей неустойчивости для уравнения (15.20)- пунктирными линиями. Такое распределение, впрочем, может быть получено лишь при достаточно большом затухании. § 63. Уравнение критических частот 1. Вывод уравнения критических частот аналогичен тому, который для консервативной задачи приведен в § 57. Реше ние уравнения (15.16) с периодом 47tjfJ ищетt:я в виде ряда 00 /(t)= ~ (aksin k~t +ьkcos k~t), k=1, 3,11 (15.24)