Динамическая устойчивость упругих систем

оrtР2дЕЛЕННЕ ОБЛАСТЕ~ HEYCTO~ЧdBOCTd

§ 62)

Re hk <е 'И является периодическим при Re hk =в. При этом в случае Pk > О имеем Im hk =О, и следовательно, первое решение имеет период 2тtf6. В случае Pk <О 6 hk = 2тс ln 1 Pk 1 + lтt и, следовательно, первое решение имеет пер-иод 4тt/fJ. Вто рое решение, как видно из (15.23), затухает при всех зна чениях в. Отсюда следует, что, как и в консервативном случае, периодические решения с периодом 2тt/6 и 4тt/ 1 J отделяют области неустойчивпсти от областей, в которых решения затухают. Остановимся кратко на случае кратных корней при не линейных элементарных делителях. Пусть характеристическое уравнение для (15.20) имеет двойной корень; это будет, очевидно, либо Pk = Pn+k = 1, либо Pk = Pn+k =- 1. В этом случае решения ура1щения (15.20) имеют вид (14.14) Uk= Xk(t), Un+k = Xn+k (t) + txk (t), где Xk(t) и Xn+k(t)- периодические векторы с периодом 2тt/О или 4r../fJ. Переходя к fk (t) при помощи подстановки ( 15 .17) и учитывая, что lim te-•t =О, t-+oo получаем для случая двойных корней устойчивость. 3. Приведем некоторые качественные соображения об областях неустойчивости с учетом затухания. Из предыдущего вытекает, что области неустойчивости для уравнения (15.16) всегда лежат внутри областей не устойчивости для (15.20). В самом деле, только внутри этих областей характеристические показатели hk имеют вещественную часть, и следовательно, может выполняться равенство Rehk=в. Но уравнение (15.20) описывает колебания консервативной системы с собственными частотами, вычисленными с поправ кой на затухание. Чтобы показать это, отбросим в (15.20) члены с Ф (t): С/"+ (Е- Са 2 - а.А)/=О.