Динамическая устойчивость упругих систем

334

lгл. xv

УСТОЙЧИВОСТЬ С УЧЕТОМ ЗАТУХАНИЯ

матрицами А, В, С, если эти матрицы коммутируют между собой и е ;! С (это следует из теоремы 11). Но в этом «Осо бом:. случае уравнение ( 15 .16) может быть приведено к диаго нальному виду !;+2ekf~+юЧ1-a:-kФ(t)]fk=0 (k= 1, 2, 3, ... ), т. е. к обыкновенным дифференциальным уравнениям, кото рые уже подробно исследованы (глава 11). Второй случай, когда подстановка ( 15 .17) приводит к уравнению (15.20),-это случая скалярноя матрицы I=EE, (15.21) коммутирующей с любаЯ другой матрицей. Здесь Е-коэф фициент затухания, одинаковый для всех форм колебания. В дальнейшем остановимся на этом случае. 2. Решения уравнения (15.20) в случае, когда элемен тарные делители у характеристического уравнения-про стые, имеют вид (14.12) uk = ehktXk (t), ( 15.22) 6 г де hk = 2 7t ln Pk- характеристические показатели, Xk (t)- векторы, компоненты которых являются периодическими функциями времени с периодом 21t/fJ. Каждому характери стическому корню Pk соответствует второА корень Pn+k = 1 IPk• а каждому решению (15.22)-решение · имk = e-ьktXп+k(t). Если все Рk-комплексные числа, то 1 Pk 1 = 1 и hk = l arg р. В этом случае, как видно из ( 15.17), вс~ решения уравнения (15.16) затухают со скоростью затухания собственных коле бания. Пусть характеристическое уравнение для (15.20) имеет пару вещественных корней Pk и Pn+k = 1/Pk· Рассмотрим пару соответствующих решения уравнения ( 15.16): fk = e'hk-•J tXk (t), 1 -(h +o)t (15.23) i n+k = е k Xn+k (t). Положим для определенности 1 Pk / > 1, тогда первое решение неограниченно возрастает при Re hk > Е, затухает при