Динамическая устойчивость упругих систем

§ 62] 333 nриводящеП уравнение «особого» случая (2.1) к уравнению Матье-Хилла, введем м·атричную подстановку f=e-•tи(t). (15.17) Здесь и (t)- вектор с компонентами, подлежащими опре делению. Дважды дифференцируя, получаем: f = e-•t (и' - еи), f" = г-•t (и"-2аи' + а 9 и). Подстановка в (15.16) дает: Се-•tи" +[Е- Са 9 -аА-~Ф (t)B] e-•ttz =О, (15.18) т. е. члены с f действительно исчеаают. При условии, что ( 1.5.18) может быть ааписано в виде г-•t {Си"+ !Е- са·з_ аА -~Ф (t)BI и}= О, (15.19) и учитывая, что e-•t- неособенная матрица (все e-•kt > 0), приходим к уравнению Си"+ !Е- Са 9 -а А-~Ф (t) В] и =О. (15.20) Выражения (15.18) и (15.19) далеко не всегда эквива лентны. Пронаведение двух матриц, вообще говоря, неком мутативно, поэтому вынесение матрицы e-•t аа скобки в (15.19) воаможно лишь при определенных оговорках относи тельно А, В, С и е. Если две матрицы Х и У коммутируют ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ будем обоаначать это Х~ У. Сформулируем две теоремы о коммутирующих матрицах. 1. Если Х~ У, то f(X);!:. У. 11. Если Х ;!:_ У и Z ;!:_ У, то Х ;!:_ Z. Докааательство этих теорем следует иа того, что ком мутирующие матрицы имеют совпадающие собственные векторы. Боавратимея к уравнению (15.18). На основании тео ремы 1 исследование коммутативности e-•t ааменяется иссле дованием коммутативности матрицы а. Могут представить ся два случая. Матрица а коммутирует со всеми тремя ХУ=УХ,