Динамическая устойчивость упругих систем

[гл. xv

332

УСТОЙЧИВОСТЬ С УЧЕТОМ ЗАТУХАНИЯ

дополнительный член с первоя производноя от вектора сме щения. В дальнейшем запишем уравнение в виде С/"+ 2Cs/' +[Е- а А- ~Ф (t) В]/= О, (15.16) справедливом при любом выборе координатных функциЯ. Для того чтобы установить вид решениЯ (15.16), жела тельно наЯти подстановку, избавляющую от члена с f, т. е. приводящую к уравнениям, аналитическиЯ вид решениЯ кото рых известен. Пусть Х-пекоторая матрица. По аналогии с разложе нием для скаляра х ха еж = 1 + Т! + 2! + ... назовем показательноЯ функциеЯ от матрицы Х разложе ние 1) 00 k х_ Х Х2 _ ~ Х е -Е+и+ 2! + ... -Е+~ м· k=1

Пользуясь этим определением, введем матрицу

Составим пронаводную от этоЯ матрицы по t:

k-1

00

k

~·(-t) -- ~ (k-1)1 --ее -

d(-•f)-

-•t

di е

·

k=1

Таким образом, показательная функция от матрицы обладает основными свойствами скалярноЯ показательноЯ функции. В главных осях e-•t = [e-••t, e-•.t, ... , e-•nt].

По аналогии с подстановкоЯ

f = e-•t и (t),

1) С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, т. 3, ч. 2. Гос техиздат, 1953.-