Динамическая устойчивость упругих систем

328

УСТОЙЧИВОСТЬ С УЧЕТОМ ЗАТУХАНИЯ [гл. xv nренебречь в (15.11) членами второго и высших nорядков малости. Это равносильно тому, чтобы nоложить:

Подставляя эти значения в (15.11), возвращаясь к (15.7) и nолагая fJ. = 1, получаем первое приближение n /;, (t) = а;,е -•.,t cos w;,t + ~'" a:eikwk 2 е -•kkt sin wkt k=l wk- ю;, (l=1, 2, 3, ... , n). (15.13) Из (15.13) видно прежде всего, что побочные элементы в nервом приближении не влияют на скорость затухания колеба ний. Колебания носят, однако, связанный характер. Так, nо ведение /;, (t) зависит от всех ft (О)= ak (k = 1, 2, 3, ... , n). Это влияние, впрочем, оценивается величинами порядка гikfwk, т. е. даже при eik ,__, вн весьма невелико. Выше было оговорено, что W;,oFWk. В случае близких по величине собственных частот связь между формами колеба ний усиливается. - Рассмотрим случай кратных частот w;, = wJ• принимая, однако, что гi;,=l=гJJ. Здесь могут быть использованы фор мулы (15.12). Выражения для Mik и Nik содержат, очевидно, величины nорядка (e/w)- 1 , 1, efw, (efw)'A и т. д. С точностью до величин nорядка единицы -М· ::=::::: 2ю~ + EJJ =_.!._+ Е# 'j (2юj)2 Eii- EJi 2 Eji-Ejj' N-i::::::::- U)i ' Eii-Eij Роль побочных элементов в;,J возрастает, ибо nодста новка N;,J в формулу (15.11) дает слагаемые тиnа a·Eti 3 e-•Ji sin w'it. Et~-•jj 4. Итак, по крайней мере, в случае неравных (точнее, не слишком близких) собственных частот матрицу рассеяния