Динамическая устойчивость упругих систем

325

§ 61]

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Итак, матрица 8, описывающая рассеяние энергии, является симметричной. Следовательно, все ее характеристические числа 8 1' 82, ... , 8n- корни уравнения /8-8Е/=0 _вещественны. Можно показать далее, что все характери стические числа вk положительны. Составим квадратичную форму Взятое с обратным знаком, это выражение дает работу сил сопротивления на перемещениях fi· Если некоторые вk <О, то квадратичная форма rp будет неопределенной, а заданная система-автоколебательной (при определенных соотношениях между fi силы сопротивления совершают поло жительную работу- «раскачку» колебаний). Автоколебатель ные системы из нашего рассмотрения исключаются. Далее, ни одно из вk не равно нулю. В противном случае система имела бы неполную диссипацию, т. е. существо вали бы такие движения, которые не сопровождаются потерей энергии. Эта возможность также исключается. 3. Дальнейшие заключения о характере матрицы 8 должны быть основаны на опытных данных. Естественно предположить, что в главных осях матрицы ю матрица рассеяния также является диагональной. В этом случае уравнение (15.1) распадается на отдельные скалярные урав нения (l=1, 2, 3, ... , n), (15.4) решения которых при начальных отклонениях fi (О)= ai и начальных фазах Лi имеют вид -•,,t - fi(t)=aie cos(wit+Лi), (15.5) г де wi- собственная частота с поправкой на затухание , 2 2 Wi= Wi-Bii• Предположение о диагональности матрицы 8 равносильно допущению, что между главными формами колебаний не nроисходит перекачки энергии, обусловленной силами