Динамическая устойчивость упругих систем

324

[гл. xv

~СТОЙЧИВОСТЬ С У~ЕТОМ ЗАТУХАНИЯ

Ограничимся замечанием, обоснование которому будет дано ниже, в главе XVI. Для разрешения вопроса о границах областей динами ческой неустойчивости достаточно линейной трактовки; в ура внениях (15.1) могут быть сохранены лишь члены, учиты вающие «линейное» затухание. Исключения из этого правила составляют случаи, когда сипы сопротивления имеют разрыв ный характер. Так, в случае сопротивления типа «сухого» трения линеаризация уравнений недопустима (§ 67). 2. Выясним теперь основные свойства матрицы (15.2). Прежде всего она должна быть симметричной матрицей. В противном случае, воспользовавшись тождеством

можем представить матрицу в в виде суммы двух матриц. Одна из них, очевидно, симметрична, вторая с элементами

антисимметрична, т. е.

(l, k = 1, 2, ... , n). (15.3) Покажем, что общая работа сил, которым соответствует матрица 'Yik• на действительных перемещениях равна нулю. Элементарная работа обобщенных сил Qi на перемещениях /, (i = 1, 2, 3, ... ,) составляет: n n dA=~Qid/,=~ QJ:dt. i=l i=l

Подставляя сюда

(l = 1, 2, 3, ... , n)

и учитывая (15.3), находим: n n

dA =- ~ ~ "fikf~f~ dt ==О. i=1 k=1