Динамическая устойчивость упругих систем

318

nоtТРОЙНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

(ГЛ. XIV

описывает колебания некоторой системы с переменными часто тами собственных- колебаний. Определим «мгновенные» ча стоты этой системы, рассматривая время t как параметр. Это будут корни уравнения 1 Е- czA- ?Ф (t)B- Q 2 (t) Cl =О. (14.43) С известной степенью точности, которая будет устано влена ниже, матричное уравнение (14.42) может быть заме нено системой обыкновенных уравнений с разделяющимися переменными ~~k + Q~ (t) !k = о (k = 1, 2, 3, ... ). (14.44) Легко видеть, что функции Qk(t) будут иметь основной период 2~/6 и могут быть представлены в виде рядов типа

00 Qk (t) = ~ с 0 + ~ ck cos k6t. k~1

Мы получили, таким образом, уравнения Хилла. Если матрицы А, В, С одновремен~о приводятся к диа гональному виду (особый случай), уравнения (14.44) дают точное решение задачи. Действительно,

так что уравнения (14.44) совпадают с (12.34). Для того чтобы оценить логрешиость в общем рассмотрим пример предыдущего параграфа: 1 о о С= А=В= о о В этом случае мы вправе ожидать наибольшую погреш ность, так как матрицы А и В существенно отличаются от диагональных. Уравнение (14.43) принимает вид ( l- Q3)(t _ Q3)_(r~+~cos6t)3 =О, w2 ю2 а2 1 2 • случае,