Динамическая устойчивость упругих систем

§ 3) ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 31 Анадогично для функции / 9 (t} С. = - 1- sin тrpt ~in тrра + - 1- cos тrpt cos тrра, 2 Pt 11 11 Ра 11 11 D. = - 1- sin тrр 1 cos тrра- - 1- cos r..pt sin тrра • 2 Pt 11 11 Ра !1 6 Подставив найденные значения коэффициентов С 9 и D 2 в выражения для / 9 (t), вычислим 1 ' А= 2 [/ 1 (Т)+ /2 (Т)].

После довольно громоздких преобразований получим:

2+ 2

А= cos тrp 1 cos тrра_ Pt

Р 2 sin тrр 1 sin тrра.

(1.24)

11 11 В соответствии с результатами предыдущего параграфа заключаем, что при 11 2ptP 3 11

р 2 sin тrр 1 sin тrр 2 1 < 1

2+ 2

1 cos тrр 1 cos 'ltPa- Pt

11 • 11 уравнение рассматриваемой задачи не имеет неограниченно возрастающих решений: начальная прямолинейная форма стержня динамически устойчива. В случае, когда 2+ 2 1 cos тrpt cos 7tP2- Pt Р2 sin тrpt siн 7tP21 > 1, 11 11 2р 1 р 3 11 11 амплитуды поперечных колебаний будут неограниченно воз· растать со временем. Уравнение 11 2PtPa 11 позволяет определить границы областей динамической не устойчивости. Это уравнение можно найти во многих ра ботах 1). Подробные расчеты произведены в работе В. М. Маку шина 2 ). Один из графиков приводится на фиг. 4. Области неустойчивости заштрихованы. г 1) См., например, книгу: Д е н-Г ар т о г, Теория колебаний. остехиздат, 1942. 2 ) Цит. на стр. 15. 2+ 2 1 cos 'ltPt cos тrрз- Pt Р2 sin тrpt sin тrрз 1 = 1 О 11 2р 1 р 2 6 6 (1.25)