Динамическая устойчивость упругих систем

§ 57]

305

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТОТ

будет кратным. В первом случае решение будет периоди ческим с периодом Т, во второr.J-с периодом 2Т. При дальнейшем изменении коэффициентов рассматриваемая пара характеристических корней станет комплексно сопряженной Pk=a+tb, Pn+k= a-lb и вследствие соотношения P~c.on+k = 1 будет равна по мо дулю единице. Область комплексных корней является, та ким образом, областью ограниченных решений (областью устойчивости). Отсюда ·следует, что на границах областей не устойчи вости дифференциальная система имеет периодические реше ния с периодом Т или 2Т. Точнее, два решения одинакового периода ограничивают область неустойчивости, два решения разных периодов-область устойчивости. Иначе в интер вале между корнями р = 1 и р = - 1 лежал бы корень р =О, что невозможно ввиду неособенности преобразова ния (14.9). Поведение решений на границах областей неустоllчивости зависит от структуры элементарных делителей, однако с практической точки зрения этот вопрос интереса не пред ставляет. Независимо от характера решениll на границе об ласти неустойчивости нахождение на ней системы должно считаться недопустимым. 3. На основании предыдущего отыскание областей не устойчивости сводится к определению условий, при которых система (14.1) имеет периодические решения с периодом Т или 2Т. Для упрощения выкладок рассмотрим систему 1) С~:+ (Е- аА- ~В cos 6t)J =О. (14.22) • Ищем решение системы (14.22) в виде ряда

(14.23)

1) Б о л о т и н В. В., Сборн. с Поперечные колебания и крити ческие скорости», вып. 2. Изд. АН СССР, 1953. 20 Зак. 1035. в. В. 6oлoru