Динамическая устойчивость упругих систем

304

ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ (ГЛ. XIV

в чем легко убедиться непосредственной подстановкой. Здесь l

f N. ( ) d,, d'ft d

2

1

1

a~.k= 111 iaik =

ох dx dx X=aki'

о f l

1 1 Ьik = wibik == Nt (х) dx dx dx = Ьik· о 2 d'f,d'fk

Таким образом, теорема справедлива для системы (12.8). Но она остается справедливой и для любой другой системы, получаемой из нее путем линейного преобразования с по стоянными коэффициентами. Функция Гамильтона может быть построена и в общем случае произвольного упругого тела, так как согласно (13.37)

f 0 (о) дtt~i) дtt~k) f a!tJ дttiiJ дt)k> Xm Xn v

?

1

1

a.k= w.a.k =

тп-д -д-dV=ak.,

'

ж

1 1

2

1

1

Ь.k== w.b.k=

mn -д--д-dV=Ьk ..

1

а 1

Xm Xn

'

v 2. Переходя к исследованию устойчивости нулевого ре шения, рассмотрим сначала случай, когда характеристическое уравнение имеет не более одной пары кратных корней одно временно. Как убедимся. в дальнейшем, этому ограничению можно придать определенный физический смысл. Рассмотрим пару частных решений, соответствующих паре взаимно обратных характеристических корней · /k (t) = Xk(t) ехр (: lп Pk), ~~ fn+k (t) = Xn+k (t) ехр (- ~ lп Pk). (14.21) Пусть Pk вещественно и отлично от :::!: 1; тогда одно из частных решений будет неограниченно возрастать со вре менем. Поэтому область вещественных р будет областью неограниченно возрастающих решений (областью неустой чивости). Варьируя коэффициенты системы, можно добиться того, что характеристическое число станет Pk = 1 или Pk =- 1 и