Динамическая устойчивость упругих систем

300

ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ (ГЛ. XIV

(движения). Если же среди характеристических показателей окажется хотя бы один, вещественная часть которого поло жительна, то система будет иметь частные решения, неогра ниченно возрастающие со временем, и, следовательно, будет иметь место неустойчивость. Учитывая, что lп р = lп 1 р 1 + i argp, приходим к следующему выводу. Если все корни характе ристического уравнения имеют модули, меньшие единицы, то имеет место устойчивость. Если среди характеристических корней окажется хотя бы один, превышающий по модулю единицу, то будет иметь место неуСтойчивость. Характеристическим числам, равным по модулю единице, соответствуют, очевидно, чисто мнимые характеристические показатели. Здесь может иметь место как устойчивость, так и неустойчивость. 1 ) Если характеристические числа-простые, то соответствующие частные решения будут ограничены во времени (точнее-будут почти периодическими функ циями). В случае кратных корней характер решения зависит от структуры элементарных делителей. А именно, если эле ментарные делители-простые, то имеет место устойчивость, в противном случае будет иметь место вековая неустойчи вость, обусловленная появлением в общем интеграле веко вых членов вида t"'r:p (t). § 66. Уравнение для определения характеристических показателеА 11 ) Среди решений, соответствующих какому-либо из харак теристических корней, всегда найдется хотя бы одно реше ние вида х (t) = ehtr:p (t), где r:p (t)- вектор с компонентами периода Т. Оно будет во всяком случае непрерывно, и следовательно, составляю щие вектора r:p (t) могут быть разложены в ряды Фурье. 1) В данном случае под устойчивостью nонимается ограничен ность решениfi во временп. 11) Б о л о т и н В. В., Инж. сборн. 14, 1953.