Динамическая устойчивость упругих систем

§ 55) СВI!ДI!НИЯ ИЗ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ )'РАВНЕНИЙ 299

rде !fk(t)- периодические векторы периода Т, а g 8 (t)- по линомы, определяемые согласно (t) t () gt(gt-1) Kt = т• К2 t = 2! • • · ·• ( t) _ (gt-1Hgt-2) ... (g 1 -s + 1) Кв - s\ • В справедливости этого можно убедиться непосредственной подстановкой в формулы для Х 8 (t) вместо t переменной t+T. Итак, в случае нелинейных элементарных делителей фундаментальная система решений имеет вид (14.15) где Р ... (t)-вектор, составленный из полиномов относи- • тельно t с периодическими коэффициентами. При этом наи большая степень полиномов не превосходит f'i- 1, а в каж дой труппе решений, соответствующей корню р,, имеется по крайней мере одно вида t p-lnp1 ) ХJн =е lfJ+t (t . 4. Система уравнений (14.6) имеет, очевидно, нулевое решение х 1 =Х 2 = •.. =Хт=О. Помимо этого тривиального решения, которому в рас сматриваемой механической задаче соответствует первона чальное положение равновесия (движения), система допускает также неиулевые решения, аналитический вид которых был установлен выше. Введем понятие о характеристическом показателе 1 h=ylnp. Из вида решений (14.12) и (14.15) следует, что если все характеристические показатели имеют отрицательные вещественные части, то общее решение системы (14.6) будет неограниченно затухать со временем. Иными словами, будет иметь место устойчивость первоначальной формы равновесия ..!..lnp х =е т ip (t) "i "i •