Динамическая устойчивость упругих систем

§ 55) СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 295

Введем далее новые переменные xJ=fJ

(}= 1, 2, ... , n),

)

(j=n+1. п+2, ... , 2n). f

(14.4)

dfJ-n

XJ= dt

Уравнение (14.3) совместно со второй группой равенств (14.4) составляет систему 2n уравнений первого порядка ~~ - Xn+i = О (l = 1, 2, ..• , n), )/ n (14.5) ~~ + ~Фik(t)xk= О (l = п+ 1, n+2, ... , 2n) k=1 или короче dx Тt+ Ф(t) х =о. ( 14.6) Здесь х-вектор с компонентами xi (l = 1, 2, ... , 2n), Ф (t)- матрица порядка 2n, структура которой ясна из (14.5). Из (14.2) следует, что Ф(t+ Т)= Ф(t). (14.7) В дальнейшем для удобства полагаем 2n =т. 2. Допустим, что для уравнений (14.6) найдены все т линейно независимых решений x1k(t), x2k(t), x3k(t), ... , Xтk(t) (k = 1, 2, 3, ... , т). Эта система решений, называемая фундаментальной, соста вляет матрицу х 11 (t) х 12 (t) . . . x 1 m (t) Х (t) = Х21 (t) Х22 (t) · · · Х2т (t) Хт2 (t) . . . Хтт (t) где первый индекс означает номер функции, второй-номер решения. Очевидно, матрица Х(~ удовлетворяет уравнению • d3X dt" +ХФ(t) =о. (14.8) Если в уравнении (14.8) произвести замену t на t+ Т, то согласно (14.7) вид его не изменится. Следовательно, матрица X(t+ Т) также stвляется решением и может быть Xmt (t)