Динамическая устойчивость упругих систем

293

§ 54)

ПРИВЕДЕНИЕ К дИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Остановимся вкратце на приближенных решениях. Если формы собственных колебани.Я и формы потери статическоЯ устойчивости мало отличаются друг от друга (а для первых, основных форм это в большинстве случаев имеет место), то в уравнениях (13.36) можно пренебречь взаимным влия нием недиагональных элементов. Приближенные уравнения принимают вид (/Aj; + w~,.(1- аатт- ~ф (t) Ьттl /т= О (13.40) (т= 1, 2, 3, ... ). где ат и ~m- критические параметры нагрузки. Таким обра зом, при сделанных допущениях уравнения особого случая дают приближенное решение задачи. До сих пор мы пользовзлись разложением по формам собственных колебаниЯ. Применеине форм потери статиче скоЯ устойчивости менее удобно. Как мы уже упоминали, д.IJЯ того чтобы имела место теорема о разложении, необхо димо, чтобы все главные значения тензора sik были положитель ными (т. е. в терминах классической теории упругости, чтобы все · главные нормальные напряжения были сжимающими). И хотя в одномерных и двумерных задачах это требование может быть смягчено, значительные ограничения остаются. Так, если стержень сжат лишь на части своей длины, то система фундаментальных функциЯ задачи статическоЯ устой чивости полной, вообще говоря, не будет. Следующее практическое соображение также склоняет нас к выбору аппроксимации при помощи форм собственных колебания. В приложениях обычно встречаются нагрузки, достаточно малые по сравнению со статическим критическим значением. Следовательно, формы потери динамическоЯ устоЯ­ ••ивости по характеру ближе к формам собственных колеба ния, чем к формам потери статическоЯ устойчивости, что и предопределяет выбор аппроксимирующих функциЯ. Но с тоЯ же степенью точности 1 1 атт~-. Ьтт~~~т • alll 1'