Динамическая устойчивость упругих систем

292

УРАВНЕНИ~ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СИСТЕМ

(гл. Х\11

дает nосле nреобразований:

2 (m) 1 d fi + .<(111) ш 2 ·-;;;а J i

оо

3

~ ~ '•nn)/fn) fZ ~ ~ a;k k -

-

n=1k=1

т

со 3 - [~Ф (t) ~ ~ b~'J:" 1 /!:' = О n=tk=1

( т.= 1, 2, 3, .. ··) 3 l = 1, 2,

• (13.39)

где

1 s д"''"'! дьln)

(_t) _т_i ___ т_k _ dV

b (IIШ) _ __

д~ . •;

·

д;

S;t

-

tk

2

(1)111 v

l

.

Система (13.39) nри одном и том же числе членов ряда (13.38) содержит втрое большее число уравнений, чем ( 13.36). Предnоложим теnерь, что хотя фундаментальные векторы задач колебаний и устойчивости не совnадают, но функции, входящие в них, совnадают с точностью до nостоянных мно жителей. Другими словами, доnустим, что одни и те же функции входят в фундаментальные векторы с разными «ве сами» 1). При этом a~f:n! nри т =F n обращаются в нуль, но nри разных i и k нулю, вообще говоря, не равны. Матрица из a~';nl становится квазидиагон.альн.о/l; каждый квазиэлемент имеет nорядок три, если nотеря устойчивости оnисывается тремя функциями, nорядок два-если двумя функциями. Доnустим, что тем же свойством обладает и матрица b~'kn>. Тогда система (13.39) расnадается на независимые системы третьего или второго nорядка. Такой случай мо·жно назвать квазиособы.м. Если nотеря устойчивости оnисывается одной функцией, как, наnример, в задаче о nлоских колебаниях прямого стержня, то различие между особым и квазиособым случаем исчезает. 1) Например, формы собственных колебаний и статической _устойчивости свободно опертого призматического стержня-сину соиды. Однако соотношения между прогибом и углом закручивания в указанных формах, вообще говоря, различны (если центр изгиба не совпадает с центром тяжести поперечных сечений).